From 344bfb50898e10ecaa062d390bc6798f984933b0 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Antho <anthony.lduf@gmail.com> Date: Tue, 14 Jan 2025 16:26:49 +0100 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?indentation=20pour=20la=20lisibilit=C3=A9?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- Rapport.tex | 41 +++++++++++++++++++++++------------------ 1 file changed, 23 insertions(+), 18 deletions(-) diff --git a/Rapport.tex b/Rapport.tex index 8ace6d1..1cc6d9f 100644 --- a/Rapport.tex +++ b/Rapport.tex @@ -62,7 +62,8 @@ Il a été énoncé par Euclide dans son livre \textit{Les Éléments} numéro V \end{itemize} \subsection{Existence de la factorisation} Pour prouver l'existence de cette factorisation, il faut que l'on réussisse à prouver que tout entier $n \geq 2$ admet un diviseur premier. \\ - On démontre cela par un raisonnement par récurrence \strong{forte}, c'est-à-dire une récurrence dont la véracité d'une proposition à un rang $n$ dépend de la véracité de toutes les propositions précédentes. \\ + On démontre cela par un raisonnement par récurrence \strong{forte}, c'est-à-dire une récurrence dont la véracité d'une proposition à un + rang $n$ dépend de la véracité de toutes les propositions précédentes. \\ \begin{proof} Procédons par récurrence forte sur n. Pour $n \geq 2$, on pose P(n) = n, c'est notre proposition, qui s'écrit : \\ \begin{center} @@ -71,7 +72,8 @@ Il a été énoncé par Euclide dans son livre \textit{Les Éléments} numéro V avec $p_1, p_2, \cdots, p_m$ premiers avec $p_1 < p_2 < \cdots < p_m$ et $k_1, k_2, \cdots, k_m \in \mathbb{N^{*}}$. \\ \begin{enumerate} \item \strong{Initialisation} : $P(2)$ est vraie car $2 = 2^{1}$. De plus, 2 est premier donc la récurrence est vraie pour $P(2)$. - \item \strong{Hérédité} : On pose $n \geq 2$ et $k$ tel que $P(k)$ est vraie pour tout $2 \leq k \leq n$. On doit donc poruver que $P(n + 1)$ est vraie. En effet, si n + 1 est premier, c'est fini. \\ + \item \strong{Hérédité} : On pose $n \geq 2$ et $k$ tel que $P(k)$ est vraie pour tout $2 \leq k \leq n$. On doit donc poruver que + $P(n + 1)$ est vraie. En effet, si n + 1 est premier, c'est fini. \\ Sinon, $n + 1$ admet un diviseur premier noté $p$ tel que $2 \leq p < n + 1$ (car $n + 1$ n'est pas premier). \\ Posons $k = (n + 1) / p$. Alors on a $2 \leq k \leq n$ et on sait que $P(k)$ est vraie. Donc, on a bien : \begin{center} @@ -81,7 +83,8 @@ Il a été énoncé par Euclide dans son livre \textit{Les Éléments} numéro V \begin{center} $n + 1 = pk = p \times p_1^{\alpha_{1}} \times \cdots \times p_r^{\alpha_{r}}$. \end{center} - \item \strong{Conclusion} : On a donc prouvé que $P(n + 1)$ est vraie. Par conséquent, la décomposition en produit de facteurs premiers existe pour tout $n \geq 2$. + \item \strong{Conclusion} : On a donc prouvé que $P(n + 1)$ est vraie. Par conséquent, la décomposition en produit de facteurs + premiers existe pour tout $n \geq 2$. \end{enumerate} \end{proof} \subsection{Unicité de la factorisation} @@ -105,24 +108,26 @@ Il a été énoncé par Euclide dans son livre \textit{Les Éléments} numéro V \section{Définition du PGCD et du PPCM} \subsection{Définition du PGCD de deux nombres entiers} -Le \strong{PGCD}, acronyme de \textbf{P}lus \textbf{G}rand \textbf{C}ommun \textbf{D}iviseur, de deux nombres a et b, est le nombre positif le plus grand de l'ensemble des diviseurs communs de a et b. \\ \\ -Par exemple, trouvons le PGCD de 12 et 8. \newline -Les diviseurs de 12 sont: [1,2,3,4,6,12] \newline -Et les diviseurs de 8 sont: [1,2,4,8] \newline -Alors, leurs diviseurs communs sont: [1,2,4].\newline -Et le plus grand de l'ensemble est 4.\newline -Donc PGCD(12,8)= 4. + Le \strong{PGCD}, acronyme de \textbf{P}lus \textbf{G}rand \textbf{C}ommun \textbf{D}iviseur, de deux nombres a et b, est le nombre positif + le plus grand de l'ensemble des diviseurs communs de a et b. \\ \\ + Par exemple, trouvons le PGCD de 12 et 8. \newline + Les diviseurs de 12 sont: [1,2,3,4,6,12] \newline + Et les diviseurs de 8 sont: [1,2,4,8] \newline + Alors, leurs diviseurs communs sont: [1,2,4].\newline + Et le plus grand de l'ensemble est 4.\newline + Donc PGCD(12,8)= 4. \subsection{Définition du PPCM de deux nombres entiers} -Le \strong{PPCM}, acronyme de \textbf{P}lus \textbf{P}etit \textbf{C}ommun \textbf{M}ultiple, de deux nombres a et b, est le nombre positif le plus petit ayant comme multiples a,b et d'autres nombre(s). \\ \\ -Par exemple, trouvons le PPCM de 12 et 8. \newline -Pour cela, on utilise la factorisation en nombres premiers en écriture réduite de chaque nombre. \newline -Alors: $12= 2 \times 2 \times 3 = 2^{2} \times 3$ \newline -Et: $8= 2 \times 2 \times 2= 2^{3}$ \newline -Nous prenons alors chaque facteur premier avec leur puissance la plus grande entre les deux. \newline -Ainsi, nous obtenons: $2^{3} \times 3^{1} = 24$ \newline -Donc PGCD(12,8)= 24. + Le \strong{PPCM}, acronyme de \textbf{P}lus \textbf{P}etit \textbf{C}ommun \textbf{M}ultiple, de deux nombres a et b, est le nombre positif + le plus petit ayant comme multiples a,b et d'autres nombre(s). \\\\ + Par exemple, trouvons le PPCM de 12 et 8. \newline + Pour cela, on utilise la factorisation en nombres premiers en écriture réduite de chaque nombre. \newline + Alors: $12= 2 \times 2 \times 3 = 2^{2} \times 3$ \newline + Et: $8= 2 \times 2 \times 2= 2^{3}$ \newline + Nous prenons alors chaque facteur premier avec leur puissance la plus grande entre les deux. \newline + Ainsi, nous obtenons: $2^{3} \times 3^{1} = 24$ \newline + Donc PGCD(12,8)= 24. -- GitLab