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@@ -120,11 +120,11 @@ Il a été énoncé par Euclide dans son livre \textit{Les Éléments} numéro V
\fbox {
\begin{minipage}{0.9\textwidth}
\begin{theorem}
- \label{th:exemple}
- \strong{Théorème de Gauss} : Si $a \divides bc$ et $a \and b = 1$ (a et b sont premiers entre eux), alors $a \divides c$.
+ \label{th:Gauss}
+ \strong{Théorème de Gauss} : Si $a \divides bc$ et $PGCD(a \and b) = 1$ (a et b sont premiers entre eux), alors $a \divides c$.
\end{theorem}
\begin{theorem}
- \label{th:exemple}
+ \label{th:Gauss_}
\strong{Conséquence du théorème de Gauss} : Si $p$ est un nombre premier et qu'il divise un produit du type $a_1 \times \cdots \times a_m$, alors $p$ divise un des $a_i$ de ce produit.
\end{theorem}
\end{minipage}
@@ -135,7 +135,7 @@ Il a été énoncé par Euclide dans son livre \textit{Les Éléments} numéro V
$p_1 \divides q_1^{\alpha_{1}} \cdots q_r^{\alpha_{r}}$.
\end{center}
Donc, d'après le \strong{corollaire du théorème de Gauss}, $p_1$ divise un des $q_i$. Or, cette proposition est absurde, car $p_1$ et $q_i$ sont deux nombres distincts. Par conséquent, cette supposition est fausse. \\
- On en conclut donc que $p_1, \cdots, p_m$ et $q_1, \cdots, q_r$ désigne la même liste de nombres premiers. On peut donc réécrire : \\
+ On en conclut donc que $p_1, \cdots, p_m$ et $q_1, \cdots, q_r$ désignent la même liste de nombres premiers. On peut donc réécrire : \\
\begin{center}
$n = p_1^{k_1} \times \cdots \times p_m^{k_m} = p_1^{\alpha_{1}} \times \cdots \times p_r^{\alpha_{r}}$.
\end{center}
@@ -184,18 +184,17 @@ Il a été énoncé par Euclide dans son livre \textit{Les Éléments} numéro V
Pour l'algorithme présenté dans la partie \ref{subsec/fact} nous aurons besoin de connaître le principe du
crible d'Eratosthène \ref{subsec/crible}
\subsection{Crible d'Eratosthène}{\label{subsec/crible}}
- Le crible d'Eratosthène est défini sur un intervalle allant de $2$ à un autre nombre que l'on prendra ici égale à $100$
+ Le crible d'Eratosthène est défini sur un intervalle allant de $2$ à un autre nombre que l'on prendra ici égal à $100$
Description de l'algorithme du crible d'Eratosthène :\newline
On part de $2$ et on "enlève" tous les multiples de $2$ soient $4,6,8,\cdots,98,100$.
Ensuite on passe au nombre suivant non supprimé soit $3$ ici et on enlève les multiples de 3
On continue ainsi de suite jusqu'Ã ce qu'il ne reste aucun nombre non premier.
\subsection{Algorithme naïf de décomposition d'un nombre en facteurs premiers}{\label{subsec/fact}}
- Pour cet algorithme, on partira du principe que l'on a une liste (de longueur $s$) de nombre premiers obtenue à partir du crible d'Eratosthène.\newline
+ Pour cet algorithme, on partira du principe que l'on a une liste (de longueur $s$) de nombres premiers obtenue à partir du crible d'Eratosthène.\newline
\begin{enumerate}
\item Posons $n \geq 2$ l'algorithme commence par un test de primalité sur n (ici on le fait grâce au crible, si n est dans la liste alors
- $n$ est premier)
- \item si $n$ est premier, alors on renvoie n.
+ $n$ est premier), si $n$ est premier, alors on renvoie n.
\item sinon, on divise $n$ par le premier entier (noté $p_1$) de la liste du crible d'Eratosthène
\begin{enumerate}
\item si le reste de cette division est nul dans ce cas, on recommence l'algorithme avec la valeur de $\frac{n}{p_1}$ et on garde
@@ -209,7 +208,7 @@ Il a été énoncé par Euclide dans son livre \textit{Les Éléments} numéro V
En exemple, si on prend la liste suivante $l = [2,3,5,7,11,13,17,...]$ et le nombre $1638$ comme dans l'exemple \ref{subsec/fact_ex}, on a
: \newline $1638 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 13 = p_1 \cdot p_2 \cdot p_2 \cdot p_4 \cdot p_6$ car $p_i$ est le ième élément de la
liste $l$.
- \subsection{Algorithme Python de la décomposition en facteurs premiers réduite}
+ \subsection{Algorithme Python de la décomposition en facteurs premiers réduite}{\label{subsec/algo}
\begin{lstlisting}
def ecriture_reduite(nombre):
@@ -250,9 +249,11 @@ def factorisation_reduite(nombre): #Ca supprime les doublons
return resultat
- \end{lstlisting}
+ \end{lstlisting} \footnote{L'algorithme présent dans le \ref{subsec/algo} n'est pas entièrement celui décrit au dessus pour les besoins de la fonction du PPCM \ref{subsec/ppcm}, à la base on teste si le nombre est premier, si c'est le cas on return le $str(nombre)$, ensuite dans l'appel récursif, dès qu'on a le nombre premier, on $return ~str(liste_premiers[i]) + "*" + decomposition(nombre/liste\_premiers[i])$}
+
+
+
-
@@ -284,7 +285,7 @@ def PGCD(A,B): # On assume que A>B
\end{lstlisting}
- \subsection{Algorithme du PPCM}
+ \subsection{Algorithme du PPCM}{\label{subsec/ppcm}
\begin{itemize}
\item Déterminons l'algorithme que l'humain utiliserait pour calculer le PPCM entre 2 nombres A et B appartenant à $\mathbb{N^{*}}$:
\item En premier lieu, il faut trouver \hyperref[th:exemple]{la décomposition en facteurs premiers} $F_{A}$ de A, et respectivement $F_{B}$ de B.
@@ -323,6 +324,8 @@ Voici tous les sites que l'on a utilisé pour rechercher le sujet:
\item \url{https://fr.wikipedia.org/wiki/Plus_petit_commun_multiple}
\item \url{https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_fondamental_de_l%27arithm%C3%A9tique}
\item \url{https://www.bibmath.net/ressources/index.php?action=affiche&quoi=capes/cours/arithm.html}
+\item \url{https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_premier}
+\item \url{https://www.techno-science.net/definition/6122.html}
\end{enumerate}