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......@@ -2,14 +2,8 @@
\BOOKMARK [1][-]{section.2}{Factorielle et coefficients binomiaux}{}% 2
\BOOKMARK [2][-]{subsection.2.1}{Factorielle}{section.2}% 3
\BOOKMARK [2][-]{subsection.2.2}{Coefficients binomiaux}{section.2}% 4
\BOOKMARK [3][-]{subsubsection.2.2.1}{D\351finition}{subsection.2.2}% 5
\BOOKMARK [3][-]{subsubsection.2.2.2}{Exemples illustr\351s}{subsection.2.2}% 6
\BOOKMARK [3][-]{subsubsection.2.2.3}{Utilisations concr\350tes}{subsection.2.2}% 7
\BOOKMARK [1][-]{section.3}{Th\351or\350mes}{}% 8
\BOOKMARK [2][-]{subsection.3.1}{1er th\351or\350me}{section.3}% 9
\BOOKMARK [3][-]{subsubsection.3.1.1}{D\351finition}{subsection.3.1}% 10
\BOOKMARK [3][-]{subsubsection.3.1.2}{Exemples illustr\351s}{subsection.3.1}% 11
\BOOKMARK [3][-]{subsubsection.3.1.3}{Utilisations concr\350tes}{subsection.3.1}% 12
\BOOKMARK [2][-]{subsection.3.2}{Formule du bin\364me de Newton}{section.3}% 13
\BOOKMARK [1][-]{section.4}{Conclusion}{}% 14
\BOOKMARK [1][-]{section.5}{Annexes}{}% 15
\BOOKMARK [1][-]{section.3}{Th\351or\350mes}{}% 5
\BOOKMARK [2][-]{subsection.3.1}{Relation de Pascal}{section.3}% 6
\BOOKMARK [2][-]{subsection.3.2}{Formule du bin\364me de Newton}{section.3}% 7
\BOOKMARK [1][-]{section.4}{Conclusion}{}% 8
\BOOKMARK [1][-]{section.5}{Annexes}{}% 9
\documentclass[french]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
......@@ -7,6 +6,7 @@
\usepackage{amssymb}
\usepackage{graphicx}
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\usepackage{xcolor}
\title{"Le Triangle de Pascal"}
\author{MAEDER Camille, GOMEZ Jeanne}
......@@ -42,14 +42,91 @@ La fonction qui a $n$ associe $n!$ est donc strictement croissante sur $\mathbb{
\\\\
La factorielle d'un nombre est fréquemment utilisée pour définir le nombre de formations différentes que l'on peut réaliser à partir de $n$: pour 22 élèves, combien de formations différentes de la classe pouvons nous avoir ? La réponse est $22!$
\subsection{Coefficients binomiaux}
\subsubsection{Définition}
\subsubsection{Exemples illustrés}
\subsubsection{Utilisations concrètes}
Le coefficient binomial, noté \(\binom{n}{k}\) avec $k$ \(\leq\) $n$, est comme dit précédemment ce qui compose le triangle de pascal. Il est beaucoup utilisé en statistiques et en dénombrement, parce qu'il exprime le nombre d'ensembles différents à $k$ éléments que l'on peut créer avec un ensemble de départ contenant $n$ éléments.\\
On peut donc obtenir le résultat de \(\binom{n}{k}\), soit en utilisant le triangle de Pascal, soit en le calculant avec la formule suivante :
\begin{equation*}
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \times (n-k)!}
\end{equation*}
\\\\
\paragraph{}
\(\binom{4}{2}\) = \(\frac{4!}{2! \times (4-2)!}\) = \(\frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \; \times \; 2 \times 1}\) = \(\frac{24}{4}\) = 6\\
\begin{tabular}{ c c c c c c c }
& 0 & 1 & \color{orange} 2 \color{black} & 3 & 4 & 5 \\
0 & 1 & & & & & \\
1 & 1 & 1 & & & & \\
2 & 1 & 2 & 1 & & & \\
3 & 1 & 3 & 3 & 1 & & \\
\color{orange} 4 \color{black} & 1 & 4 & \color{red} 6 \color{black} & 4 & 1 & \\
5 & 1 & 5 & 10 & 10 & 5 & 1 \\
\end{tabular}
\\
\paragraph{}
\(\binom{5}{3}\) = \(\frac{5!}{3! \times (5-3)!}\) = \(\frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1 \; \times \; 2 \times 1}\) = \(\frac{120}{12}\) = 10\\
\begin{tabular}{ c c c c c c c }
& 0 & 1 & 2 & \color{orange} 3 \color{black} & 4 & 5 \\
0 & 1 & & & & & \\
1 & 1 & 1 & & & & \\
2 & 1 & 2 & 1 & & & \\
3 & 1 & 3 & 3 & 1 & & \\
4 & 1 & 4 & 6 & 4 & 1 & \\
\color{orange} 5 \color{black} & 1 & 5 & 10 & \color{red} 10 \color{black} & 5 & 1 \\
\end{tabular}
\\\\
On peut utiliser les coefficients binomiaux pour déterminer le nombre de différents groupes de quatre personnes que l'on peut faire dans une classe de 24 élèves, \(\binom{24}{4}\) = 10626 . On peut donc former 10626 différents groupes de 4 dans une classe de 24 (à noter que pour utiliser les coefficients binomiaux, il faut que l'ordre ne soit pas important, c'est-à-dire le groupe (A,B) est le même que le groupe (B,A)).
\section{Théorèmes}
\subsection{1er théorème}
\subsubsection{Définition}
\subsubsection{Exemples illustrés}
\subsubsection{Utilisations concrètes}
\subsection{Relation de Pascal}
La relation de Pascal est le calcul que nous faisons "intuitivement" quand nous écrivons le triangle de Pascal. En effet, pour calculer une valeur du triangle de Pascal, nous additionnons la valeur au dessus de celle souhaitée avec la valeur à la gauche de la valeur au dessus de celle souhaitée, ce qui revient à utiliser cette formule : \\
\begin{equation*}
\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}
\end{equation*}
\\
Démontrons-la par le calcul :\\\\
\begin{equation*}
\begin{split}
\binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k} = \frac{(n-1)!}{(k-1)! \; \times \; (n-1-(k-1))!} + \frac{(n-1)!}{k! \; \times \; (n-1-k)!} \\ = \frac{(n-1)!}{(k-1)! \; \times \; (n-k)!} + \frac{(n-1)!}{k! \; \times \; (n-1-k)!} = \frac{(n-1)! \times k}{k! \; \times \; (n-k)!} +\frac{(n-1)! \times (n-k)}{k! \; \times \; (n-k)!} \\ = \frac{(n-1)! \times (k+n-k)}{k! \; \times \; (n-k)!} = \frac{(n-1)! \times n!}{k! \; \times \; (n-k)!} = \frac{n!}{k! \; \times \; (n-k)!} = \binom{n}{k}
\end{split}
\end{equation*}
\\
\paragraph{}
\(\binom{4-1}{1-1} + \binom{4-1}{1} =\binom{3}{0} + \binom{3}{1} = \frac{3!}{0! \times (3-0)!} + \frac{3!}{1! \times (3-1)!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1} + \frac{3 \times 2 \times 1}{1 \times 2 \times 1} = \frac{6}{6} + \frac{6}{2} = 4 = \binom{4}{1}\)
\\\\
\begin{tabular}{ c c c c c c c }
& 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
0 & 1 & & & & & \\
1 & 1 & 1 & & & & \\
2 & 1 & 2 & 1 & & & \\
3 & \color{blue} 1 \color{black} & \color{orange} 3 \color{black} & 3 & 1 & & \\
4 & 1 & \color{red} 4 \color{black} & 6 & 4 & 1 & \\
5 & 1 & 5 & 10 & 10 & 5 & 1 \\
\end{tabular} \\\\
\( \color{blue} 1 \color{black} + \color{orange} 3 \color{black} = \color{red} 4 \color{black} \)
\\\\
\paragraph{}
\(\binom{3-1}{2-1} + \binom{3-1}{2} =\binom{2}{1} + \binom{2}{2} = \frac{2!}{1! \times (2-1)!} + \frac{2!}{2! \times (2-2)!} = \frac{2 \times 1}{1 \times 1} + \frac{2 \times 1}{2 \times 1 \times 1} = \frac{2}{1} + \frac{2}{2} = 2 + 1 = 3 = \binom{3}{2}\)
\\\\
\begin{tabular}{ c c c c c c c }
& 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
0 & 1 & & & & & \\
1 & 1 & 1 & & & & \\
2 & 1 & \color{blue} 2 \color{black} & \color{orange} 1 \color{black} & & & \\
3 & 1 & 3 & \color{red} 3 \color{black} & 1 & & \\
4 & 1 & 4 & 6 & 4 & 1 & \\
5 & 1 & 5 & 10 & 10 & 5 & 1 \\
\end{tabular} \\\\
\( \color{blue} 2 \color{black} + \color{orange} 1 \color{black} = \color{red} 3 \color{black} \)\\
\subsection{Formule du binôme de Newton}
La formule du binôme de Newton est utilisée pour trouver le développement d'une puissance entière d'un binôme $x$ et $y$ (réels ou complexes). Elle est définie ainsi:
......@@ -103,7 +180,11 @@ Pour $n = 5$, $(x + y)^5 = x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 + 5xy^4 + y^5$
...
\section{Conclusion}
Au cours de ce document nous avons vu comment calculer le triangle de pascal, ainsi que les équations qui en découlent. Principalement utilisé en statistique et en dénombrement, il est aujourd'hui la base de la pluspart des équations de ces deux matières. On peut notamment le retrouver dans les calculs de loi binomiales les plus simple ou dans les calculs de combinaisons, par exemple.\\
\section{Annexes}
\href{https://fr.wikipedia.org/wiki/Factorielle}{Wikipédia - Factorielle}\\
\href{https://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_du_binôme_de_Newton}{Wikipédia - Formule du binôme de Newton}
\href{https://fr.wikipedia.org/wiki/Factorielle}{Wikipédia - Factorielle} consulté le 12/01/2024\\
\href{https://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_du_binôme_de_Newton}{Wikipédia - Formule du binôme de Newton} consulté le 12/01/2024\\
\href{https://www.maxicours.com/se/cours/coefficients-binomiaux-et-loi-de-pascal/}{coefficients-binomiaux} consulté le 12/01/2024\\
\href{https://fr.wikipedia.org/wiki/Coefficient_binomial}{Wikipédia - Coefficient binomial} consulté le 12/01/2024\\
\href{https://www.techno-science.net/glossaire-definition/Coefficient-binomial.html}{definition coefficient binomial} consulté le 12/01/2024\\
\end{document}
\ No newline at end of file
\BOOKMARK [2][-]{subsection.0.1}{Coefficients binomiaux}{}% 1
\documentclass[french]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{xcolor}
\title{"Le Triangle de Pascal"}
\author{MAEDER Camille, GOMEZ Jeanne}
\date{11/01/2024}
\begin{document}
\subsection{Coefficients binomiaux}
Le coefficient binomial, noté \(\binom{n}{k}\) avec $k$ \(\leq\) $n$, est comme dit précedemment ce qui compose le triangle de pascal. Il est beaucoup utilisé en statistiques et en dénombrement, parce qu'il exprime le nombre d'ensembles différents à $k$ éléments que l'on peut créer avec un ensemble de départ contenant $n$ éléments.\\
On peut donc obtenir le resultat de \(\binom{n}{k}\), soit en utilisant le triangle de Pascal, soit en le calculant avec la formule suivante :
\begin{equation*}
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \times (n-k)!}
\end{equation*}
\paragraph{}
\(\binom{4}{2}\) = \(\frac{4!}{2! \times (4-2)!}\) = \(\frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \; \times \; 2 \times 1}\) = \(\frac{24}{4}\) = 6\\
\begin{tabular}{ c c c c c c c }
& 0 & 1 & \color{orange} 2 \color{black} & 3 & 4 & 5 \\
0 & 1 & & & & & \\
1 & 1 & 1 & & & & \\
2 & 1 & 2 & 1 & & & \\
3 & 1 & 3 & 3 & 1 & & \\
\color{orange} 4 \color{black} & 1 & 4 & \color{red} 6 \color{black} & 4 & 1 & \\
5 & 1 & 5 & 10 & 10 & 5 & 1 \\
\end{tabular}
\\
\paragraph{}
\(\binom{5}{3}\) = \(\frac{5!}{3! \times (5-3)!}\) = \(\frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1 \; \times \; 2 \times 1}\) = \(\frac{120}{12}\) = 10\\
\begin{tabular}{ c c c c c c c }
& 0 & 1 & 2 & \color{orange} 3 \color{black} & 4 & 5 \\
0 & 1 & & & & & \\
1 & 1 & 1 & & & & \\
2 & 1 & 2 & 1 & & & \\
3 & 1 & 3 & 3 & 1 & & \\
4 & 1 & 4 & 6 & 4 & 1 & \\
\color{orange} 5 \color{black} & 1 & 5 & 10 & \color{red} 10 \color{black} & 5 & 1 \\
\end{tabular}
\\\\\\
On peut utiliser les coefficients binomiaux pour determiner le nombre de différents groupes de quatre personnes que l'on peut faire dans une classe de 24 élèves, \(\binom{24}{4}\) = 10626 . On peut donc former 10626 différents groupes de 4 dans une classe de 24 (à noter que pour utiliser les coefficients binomiaux, il faut que l'ordre ne soit pas important, c'est-à-dire le groupe (A,B) est le même que le groupe (B,A)).
\end{document}
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