Ce rapport présente le théorème fondamental de l'arithmétique, ses implications et ses applications. Nous abordons les définitions de base, la preuve du théorème et des exemples concrets.
\section{Notations et Définitions}
\subsection{Ensemble des Entiers Naturels}
L'ensemble des entiers naturels est noté $\mathbb{N}$. Dans ce rapport, $\mathbb{N}$ inclut 0.
\subsection{Définition des Nombres Premiers}
\begin{definition}
Un nombre premier est un entier $p > 1$ qui n'a que deux diviseurs positifs : 1 et $p$.
\end{definition}
\section{Théorème Fondamental de l'Arithmétique}
\begin{theorem}
Tout entier $n > 1$ peut être écrit de manière unique comme un produit de nombres premiers, à l'ordre près des facteurs.
\end{theorem}
\subsection{Preuve}
La preuve est divisée en deux parties :
\begin{lemma}[Existence]
Tout entier $n > 1$ peut être décomposé en produit de nombres premiers.
\end{lemma}
\begin{proof}
Preuve par récurrence :
\begin{itemize}
\item Base : $n =2$, qui est un nombre premier.
\item Hypothèse de récurrence : Supposons vrai pour tout entier $k < n$.
\item Étape : Si $n$ est premier, la propriété est triviale. Sinon, $n = ab$, où $a, b < n$. Par hypothèse, $a$ et $b$ sont des produits de nombres premiers.
