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Rapport.tex

@@ -6,8 +6,9 @@
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 \usepackage{xcolor}
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+\usepackage{listings}
 \newtheorem{theorem}{Théorème}
 \newtheorem{proof}{Démonstration}
 \title{Le théorème fondamental de l'arithmétique}
@@ -18,6 +19,8 @@ François LASOTA}
 \newcommand{\strong}[1]{\textbf{#1}\xspace}
 \renewcommand{\contentsname}{Table des matières}
 
+\lstset{language=Python,basicstyle=\ttfamily\footnotesize ,firstnumber=0,tabsize=3,commentstyle=\color{gray},keywordstyle=\color{magenta},numbers=left}
+
 \begin{document}
 \maketitle
 \tableofcontents
@@ -48,12 +51,26 @@ François LASOTA}
 	\end{minipage}
 	}\\
 \\
-Il a été énoncé par Euclide dans son livre \textit{Les Éléments} numéro VII, et amélioré par Carl Friedrich Gauss, qui étend la factorisation aux nombres relatifs.
-\\
-
-
+Il a été énoncé par Euclide dans son livre \textit{Les Éléments} numéro VII, et amélioré par Carl Friedrich Gauss, qui étend la factorisation aux nombres relatifs.\\
+
+\begin{figure}[b]
+    \centering
+    \begin{minipage}{0.25\textwidth}
+        \centering
+        \includegraphics[width=\linewidth]{Euclide}
+        \caption{Euclide}
+        \label{fig:euclide}
+    \end{minipage}\hfill
+    \begin{minipage}{0.25\textwidth}
+        \centering
+        \includegraphics[width=\linewidth]{Gauss}
+        \caption{Gauss}
+        \label{fig:gauss}
+    \end{minipage}
+\end{figure}
 
 
+\newpage
 \section{Démonstration du théorème fondamental de l'arithmétique}
 	La démonstration de ce théorème s'effectue en deux parties distinctes. Pour démontrer ce théorème, il faut réussir à prouver :
 	\begin{itemize}
@@ -147,28 +164,19 @@ Il a été énoncé par Euclide dans son livre \textit{Les Éléments} numéro V
 		
 
 
+\newpage
 \section{Définition du PGCD et du PPCM}
     \subsection{Définition du PGCD de deux nombres entiers}
-		Le \strong{PGCD}, acronyme de \textbf{P}lus \textbf{G}rand \textbf{C}ommun \textbf{D}iviseur, de deux nombres a et b, est le nombre positif 
-		le plus grand de l'ensemble des diviseurs communs de a et b. \\ \\
-		Par exemple, trouvons le PGCD de 12 et 8. \newline
-		Les diviseurs de 12 sont: [1,2,3,4,6,12] \newline
-		Et les diviseurs de 8 sont: [1,2,4,8] \newline
-		Alors, leurs diviseurs communs sont: [1,2,4].\newline
-		Et le plus grand de l'ensemble est 4.\newline
-		Donc PGCD(12,8)= 4.
+        Soit A, B et C, tous appartenant à $\mathbb{N^{*}}$. \newline
+        Le \strong{PGCD} de A et B, acronyme de \textbf{P}lus \textbf{G}rand \textbf{C}ommun \textbf{D}iviseur, est C tel que C est le plus grand nombre de 
+        l'ensemble des diviseurs communs de A et B. \\ \\
+        
 
 
     \subsection{Définition du PPCM de deux nombres entiers}
-		Le \strong{PPCM}, acronyme de \textbf{P}lus \textbf{P}etit \textbf{C}ommun \textbf{M}ultiple, de deux nombres a et b, est le nombre positif 
-		le plus petit ayant comme multiples a,b et d'autres nombre(s). \\\\
-		Par exemple, trouvons le PPCM de 12 et 8. \newline
-		Pour cela, on utilise la factorisation en nombres premiers en écriture réduite de chaque nombre. \newline 
-		Alors: $12= 2 \times 2 \times 3 = 2^{2} \times 3$ \newline
-		Et:    $8= 2 \times 2 \times 2= 2^{3}$ \newline
-		Nous prenons alors chaque facteur premier avec leur puissance la plus grande entre les deux. \newline
-		Ainsi, nous obtenons: $2^{3} \times 3^{1} = 24$ \newline
-		Donc PGCD(12,8)= 24.
+        Soit A, B et C, tous appartenant à $\mathbb{N^{*}}$. \newline
+        Le \strong{PPCM} de A et B, acronyme de \textbf{P}lus \textbf{P}etit \textbf{C}ommun \textbf{M}ultiple, est C, tel que C est
+        le plus petit nombre ayant comme multiples A et B. \\\\
 
 
 
@@ -201,20 +209,121 @@ Il a été énoncé par Euclide dans son livre \textit{Les Éléments} numéro V
 		En exemple, si on prend la liste suivante $l = [2,3,5,7,11,13,17,...]$ et le nombre $1638$ comme dans l'exemple \ref{subsec/fact_ex}, on a 
 		: \newline $1638 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 13 = p_1 \cdot p_2 \cdot p_2 \cdot p_4 \cdot p_6$ car $p_i$ est le ième élément de la
 		liste $l$.
-		
-		
-		
-
-\section{Algorithmes calculant le PGCD et le PPCM de 2 nombres premiers}
+	\subsection{Algorithme Python de la décomposition en facteurs premiers réduite}
+	
+	\begin{lstlisting}
+def ecriture_reduite(nombre):
+    l = decomposition(nombre)
+    dico = {}
+    for i in l :
+        if i not in dico.keys():
+            dico[i] = 1
+        else:
+            dico[i] += 1
+    liste_de_liste = []
+    liste_puissances = []
+    for valeur in dico.values():
+        liste_puissances.append(valeur)
+    liste_de_liste.append(l)
+    liste_de_liste.append(liste_puissances)
+    return liste_de_liste
+
+def decomposition(nombre,liste_decompo=[]):
+    if nombre in liste_premiers:
+        liste_decompo.append(nombre)
+        return liste_decompo
+    else:
+        i = 0
+        while nombre%liste_premiers[i] != 0:
+            i+=1
+        liste_decompo.append(liste_premiers[i])
+        return decomposition(nombre//liste_premiers[i],liste_decompo)
+
+def factorisation_reduite(nombre):	#Ca supprime les doublons
+	liste=decomposition(nombre)    
+    vue = set()
+    resultat = []
+    for element in liste:
+        if element not in vue:
+            resultat.append(element)
+            vue.add(element)
+    return resultat
+
+
+	\end{lstlisting}
 
 		
 		
 		
 
+\section{Algorithmes calculant le PGCD et le PPCM de 2 nombres premiers}
+	\subsection{Algorithme du PGCD}
+	\begin{itemize}
+		\item Déterminons l'algorithme que l'humain utiliserait pour calculer le PGCD entre 2 nombres A et B appartenant à $\mathbb{N^{*}}$:
+		\item En premier lieu, il faut trouver l'ensemble $E_{A}$ des diviseurs de A, et respectivement l'ensemble $E_{B}$ de B.
+		\item Ensuite, nous créons un nouvel ensemble $E_{Div communs}$ étant l'intersection des ensembles $E_{A}$ et $E_{B}$.
+		\item Ainsi, nous avons l'ensemble $E_{Div communs}$ et nous devons donc choisir le plus grand nombre y faisant parti.
+		\item Ce dernier est le résultat que nous cherchions. 
+	\end{itemize}
+		Par exemple, trouvons le PGCD de 12 et 8. \newline
+		Les diviseurs de 12 sont: [1,2,3,4,6,12] \newline
+		Et les diviseurs de 8 sont: [1,2,4,8] \newline
+		Alors, leurs diviseurs communs sont: [1,2,4].\newline
+		Ainsi, le plus grand de l'ensemble est 4.\newline
+		Donc PGCD(12,8)= 4. \newline
+		Effectivement, $12=4 \times 3$ et $8=4 \times 2$
 	
 	
+	\begin{lstlisting}
+def PGCD(A,B):	# On assume que A>B
+	E=[]	# Je n'ai pas fait l'algorithme humain, mais un algorithme plus efficace en code
+	for i in range(A):
+		if A%i==0 and B%i==0:	# Si le nombre est diviseurs de A et B.
+			E.append(i)
+	return E[-1] # Le dernier etant le plus grand, pouvant etre 1
 	
+	\end{lstlisting}
 
+	\subsection{Algorithme du PPCM}
+	\begin{itemize}
+		\item Déterminons l'algorithme que l'humain utiliserait pour calculer le PPCM entre 2 nombres A et B appartenant à $\mathbb{N^{*}}$:
+		\item En premier lieu, il faut trouver \hyperref[th:exemple]{la décomposition en facteurs premiers} $F_{A}$ de A, et respectivement $F_{B}$ de B.
+		\item Ensuite, nous devons comparer $F_{A}$ et $F_{B}$ et créer $F_{C}$, comprenant chaque facteur au plus haut degré de $F_{A}$ et $F_{B}$.
+		\item Ainsi, nous avons $F_{C}$ qui est donc la factorisation en facteurs premiers du nombre recherché.
+	\end{itemize}
+		Par exemple, trouvons le PPCM de 12 et 8. \newline
+		Pour cela, on utilise la factorisation en nombres premiers en écriture réduite de chaque nombre.  \newline 
+		Alors: $12= 2 \times 2 \times 3 = 2^{2} \times 3$ \newline
+		Et:    $8= 2 \times 2 \times 2= 2^{3}$ \newline
+		Nous prenons alors chaque facteur premier avec leur puissance la plus grande entre les deux. \newline
+		Ainsi, nous obtenons: $2^{3} \times 3^{1} = 24$ \newline
+		Donc PPCM(12,8)= 24.\newline
+		Effectivement, $24=12 \times 2 = 8 \times 3$.
+	\begin{lstlisting}
+def PPCM(A,B):
+	FA=decomposition(A)	#On prend la decomposition en facteurs premiers des 2 nombres
+	FB=decomposition(B)
+	for i in range(len(FB[0])):	#On se met sur A pour y rajouter les facteurs de B
+		if FB[0][i] in FA[0]:
+			if FB[1][i]>FA[1][FA.index(FB[0][i])]:#Une longue expression pour s'assurer
+				FA[1][FA.index(FB[0][i])]=FB[1][i] #de ne pas modifier les mauvais elements
+		else:
+			FA[0].append(FB[0][i])
+			FA[1].append(FB[1][i])
+	resultat=0
+	for i in range(len(FA[0]):
+		resultat+= FA[0][i]**FA[1][i]
+	return resultat
+	\end{lstlisting}
+
+
+\section{Références}
+Voici tous les sites que l'on a utilisé pour rechercher le sujet:
+\begin{enumerate}
+\item \url{https://fr.wikipedia.org/wiki/Plus_petit_commun_multiple}
+\item \url{https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_fondamental_de_l%27arithm%C3%A9tique}
+\item \url{https://www.bibmath.net/ressources/index.php?action=affiche&quoi=capes/cours/arithm.html}
+\end{enumerate}
 
 
 

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