Une arborescence c'est un ensemble $V$ muni d'un sommet distingué $r\in V$, appelé racine, et d'une relation binaire $E\subset V\times V$ telle que pour tout $x\in V / \{r\}$, il existe un unique $y\neq x$ tel que $(y,x)\in E$. L'unique $y$ tel que $(y,x)\in E$ est appelé le père de $x$ et est noté $pere(x)$.
On écrira $(V,E, r)$ pour une arborescence.
Une définition inductive des arborescences :
- $(A,B)$ tout singleton est une arborescence
- $(A,I)$ Si $T_1, T_2, \ldots, T_n$ sont des arborescences, avec $T_i = (V_i, E_i, r_i)$, alors on peut construire une nouvelle arborescence $(V,E,r)$ avec :
$$V = \bigcup_{1 \leq i \leq p}^n V_i \cup \{r\}, r\notin \bigcup_{1\leq i \leq p} V_i$$
$$E = \bigcup_{1 \leq i \leq p}^n E_i \cup \{(r, r_i) : 1 \leq i \leq n\}$$
```dot
// r a des files T_1, T_2 ... T_p
// Afficher les "..."
digraph{
rankdir=LR;
// Point
0[label="r"];
1[label="T_1"];
2[label="T_2"];
3[label="..."];
4[label="T_p"];
0->1;
0->2;
0->3;
0->4;
}
```
## Quelques terminologies
Soit $T = (V,E,r)$ une arborescence :
- les éléments de $V$ sont appelés ==noeuds==
- les éléments de $E$ sont appelés ==arcs==
- Tout noeud $y$ tel que $(y,x)\in E$ est appelé ==fils de $x$==
- Tout noeud sans fils est appelé ==feuille==
- Un chemin de taille $k$ est une séquence $(x_0, x_1, \ldots, x_k)$ de noeuds telle que $(x_i, x_{i+1})\in E$ pour tout $1\leq i\leq k$
- Si $x$ est un noeud, on notera $T_x$ l'arborecence $(V_x, E_x, x)$ où $E_x = E \cap (V_x \times V_x)$, $V_x$ l'ensemble des noeuds accessibles depuis $x$ par un chemin
- La hauteur de $T$ notée $h(T)$ est la longueur du plus long chemin de $r$ à une feuille
- sous-arborescence de 5 : $T_5 = (V_5, E_5, 5)$ où $V_5 = \{5,8,4,6,9,10\}$ et $E_5 = \{(5,8), (5,4), (5,6), (5,9), (8,10)\}$ :
```dot
/*
5 -> {4,6,8,9}
8 -> 10
*/
digraph{
rankdir=TB;
// Point
5[label="5"];
4[label="4"];
6[label="6"];
8[label="8"];
9[label="9"];
10[label="10"];
5->4;
5->6;
5->8;
5->9;
8->10;
}
```
## Proposition 5.1
Soit $T = (V,E,r)$ une arborescence. Alors :
- $\forall$ neoud $x$, il existe un unique chemin de $r$ à $x$
- $T$ contient au moins une feuille
- $h(T) = 1 + \max_{x\in V} \{h(T_x)\}$
- $|E| = |V| - 1$ : nombre d'arc = nombre de noeud - 1
### Exemple de démonstration par induction
$\forall T=(V,E,\land)$, $|E| = |V| - 1$, preuve par induction sur $|V|$.
- $|V| = 1$, $T = (V, \emptyset, r)$, et $V = \{r\}$ (par définition de l'arborescence). Donc $|E| = |V| - 1 = 0$.
- Si $|V| > 1$, alors $\exists$ $T_1, T_2, ..., T_p$, pour un certain entier $p$, où $T_i=(V_i,E_i,r_i)$ est une arborescence et $r_1, r_2, ..., r_p$ sont les fils de $r$ et $T_i$ la sous arborescence de $T$ issue de $r_i$.
Visuellement :
```dot
// r a des files T_1, T_2 ... T_p
// Afficher les "..."
digraph{
rankdir=TB;
// Point
0[label="r"];
1[label="T_1"];
2[label="T_2"];
3[label="..."];
4[label="T_p"];
0->1;
0->2;
0->3;
0->4;
}
```
En particulier, $|V_i| < |V|$. Si on suppose par hypothèse d'induction $(P)$ vraie pour les arborescences avec $n$ noeuds, si $T$ est une arborescence avec $n+1$ noeuds, alors $\forall 1\leq u\leq p$, $T_i$ est une arborescence avec $n_i \leq n$ noeuds. Par hypothèse d'induction, $|E_i| = |V_i| - 1$.
$$V = \bigcup V_i \cup \{r\}, W = 1 + \sum_{1 \leq i \leq p} n_i$$