@@ -152,27 +152,16 @@ Il a été énoncé par Euclide dans son livre \textit{Les Éléments} numéro V
Soit A, B et C, tous appartenant à $\mathbb{N^{*}}$. \newline
Le \strong{PGCD} de A et B, acronyme de \textbf{P}lus \textbf{G}rand \textbf{C}ommun \textbf{D}iviseur, est C tel que C est le plus grand nombre de
l'ensemble des diviseurs communs de A et B. \\\\
Par exemple, trouvons le PGCD de 12 et 8. \newline
Les diviseurs de 12 sont: [1,2,3,4,6,12] \newline
Et les diviseurs de 8 sont: [1,2,4,8] \newline
Alors, leurs diviseurs communs sont: [1,2,4].\newline
Ainsi, le plus grand de l'ensemble est 4.\newline
Donc PGCD(12,8)= 4. \newline
Effectivement, $12=4\times3$ et $8=4\times2$
\subsection{Définition du PPCM de deux nombres entiers}
Soit A, B et C, tous appartenant à $\mathbb{N^{*}}$. \newline
Le \strong{PPCM} de A et B, acronyme de \textbf{P}lus \textbf{P}etit \textbf{C}ommun \textbf{M}ultiple, est C, tel que C est
le plus petit nombre ayant comme multiples A et B. \\\\
Par exemple, trouvons le PPCM de 12 et 8. \newline
Pour cela, on utilise la factorisation en nombres premiers en écriture réduite de chaque nombre, \hyperref[th:exemple]{cliquer ici pour voir}. \newline
Alors: $12=2\times2\times3=2^{2}\times3$\newline
Et: $8=2\times2\times2=2^{3}$\newline
Nous prenons alors chaque facteur premier avec leur puissance la plus grande entre les deux. \newline
Ainsi, nous obtenons: $2^{3}\times3^{1}=24$\newline
Donc PPCM(12,8)= 24.\newline
Effectivement, $24=12\times2=8\times3$.
...
...
@@ -210,12 +199,39 @@ Il a été énoncé par Euclide dans son livre \textit{Les Éléments} numéro V
\section{Algorithmes calculant le PGCD et le PPCM de 2 nombres premiers}
\subsection{Algorithme du PGCD}
\begin{itemize}
\item Déterminons l'algorithme que l'humain utiliserait pour calculer le PGCD entre 2 nombres A et B appartenant à $\mathbb{N^{*}}$:
\item En premier lieu, il faut trouver l'ensemble $E_{A}$ des diviseurs de A, et respectivement l'ensemble $E_{B}$ de B.
\item Ensuite, nous créons un nouvel ensemble $E_{Div communs}$ étant l'intersection des ensembles $E_{A}$ et $E_{B}$.
\item Ainsi, nous avons l'ensemble $E_{Div communs}$ et nous devons donc choisir le plus grand nombre y faisant parti.
\item Ce dernier est le résultat que nous cherchions.
\end{itemize}
Par exemple, trouvons le PGCD de 12 et 8. \newline
Les diviseurs de 12 sont: [1,2,3,4,6,12] \newline
Et les diviseurs de 8 sont: [1,2,4,8] \newline
Alors, leurs diviseurs communs sont: [1,2,4].\newline
Ainsi, le plus grand de l'ensemble est 4.\newline
Donc PGCD(12,8)= 4. \newline
Effectivement, $12=4\times3$ et $8=4\times2$
\subsection{Algotrithme du PPCM}
\begin{itemize}
\item Déterminons l'algorithme que l'humain utiliserait pour calculer le PPCM entre 2 nombres A et B appartenant à $\mathbb{N^{*}}$:
\item En premier lieu, il faut trouver \hyperref[th:exemple]{la décomposition en facteurs premiers}$F_{A}$ de A, et respectivement $F_{B}$ de B.
\item Ensuite, nous devons comparer $F_{A}$ et $F_{B}$ et créer $F_{C}$, comprenant chaque facteur au plus haut degré de $F_{A}$ et $F_{B}$.
\item Ainsi, nous avons $F_{C}$ qui est donc la factorisation en facteurs premiers du nombre recherché.
\end{itemize}
Par exemple, trouvons le PPCM de 12 et 8. \newline
Pour cela, on utilise la factorisation en nombres premiers en écriture réduite de chaque nombre. \newline
Alors: $12=2\times2\times3=2^{2}\times3$\newline
Et: $8=2\times2\times2=2^{3}$\newline
Nous prenons alors chaque facteur premier avec leur puissance la plus grande entre les deux. \newline
Ainsi, nous obtenons: $2^{3}\times3^{1}=24$\newline