fusion de moi (moi) 2e du nom

Rapport.tex

@@ -7,6 +7,7 @@
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 \newtheorem{theorem}{Théorème}
 \newtheorem{proof}{Démonstration}
 \title{Le théorème fondamental de l'arithmétique}
@@ -128,7 +129,8 @@ Il a été énoncé par Euclide dans son livre \textit{Les Éléments} numéro V
 			Donc, $p_1$ divise $p_2^{\alpha_2} \cdots p_m^{\alpha_m}$. Comme $p_1$ est premier, il divise un des $p_i$, et ce pour $i \geq 2$. Or, ceci est absurde. Cette supposition est fausse, et pour tout $i = 1, \cdots, r$, $k_i = \alpha_i$. \\
 			Ces deux factorisations sont identiques, on peut donc en conclure que la décomposition en produit de facteurs premiers est \strong{unique}.
 		\end{proof}
-	\subsection{Exemple de factorisation réduite}
+
+	\subsection{Exemple de factorisation réduite}{\label{subsec/fact_ex}}
 		Posons d'abord un nombre entier non premier $a = 1638$\\
 		Effectuons la factorisation réduite de a en produit de facteurs premiers :\newline
 		On procédera pour cette exemple a des divisions successives de a par des nombres premiers de plus en plus grands :\newline
@@ -144,33 +146,66 @@ Il a été énoncé par Euclide dans son livre \textit{Les Éléments} numéro V
 		$1638 = 2 \cdot 3^2 \cdot 7 \cdot 13$
 		
 
-
+\newpage
 \section{Définition du PGCD et du PPCM}
 	\subsection{Définition du PGCD de deux nombres entiers}
-		Le \strong{PGCD}, acronyme de \textbf{P}lus \textbf{G}rand \textbf{C}ommun \textbf{D}iviseur, de deux nombres a et b, est le nombre positif 
-		le plus grand de l'ensemble des diviseurs communs de a et b. \\ \\
+		Soit A, B et C, tous appartenant à $\mathbb{N^{*}}$. \newline
+		Le \strong{PGCD} de A et B, acronyme de \textbf{P}lus \textbf{G}rand \textbf{C}ommun \textbf{D}iviseur, est C tel que C est le plus grand nombre de 
+		l'ensemble des diviseurs communs de A et B. \\ \\
 		Par exemple, trouvons le PGCD de 12 et 8. \newline
 		Les diviseurs de 12 sont: [1,2,3,4,6,12] \newline
 		Et les diviseurs de 8 sont: [1,2,4,8] \newline
 		Alors, leurs diviseurs communs sont: [1,2,4].\newline
-		Et le plus grand de l'ensemble est 4.\newline
-		Donc PGCD(12,8)= 4.
+		Ainsi, le plus grand de l'ensemble est 4.\newline
+		Donc PGCD(12,8)= 4. \newline
+		Effectivement, $12=4 \times 3$ et $8=4 \times 2$
 
 
 	\subsection{Définition du PPCM de deux nombres entiers}
-		Le \strong{PPCM}, acronyme de \textbf{P}lus \textbf{P}etit \textbf{C}ommun \textbf{M}ultiple, de deux nombres a et b, est le nombre positif 
-		le plus petit ayant comme multiples a,b et d'autres nombre(s). \\\\
+		Soit A, B et C, tous appartenant à $\mathbb{N^{*}}$. \newline
+		Le \strong{PPCM} de A et B, acronyme de \textbf{P}lus \textbf{P}etit \textbf{C}ommun \textbf{M}ultiple, est C, tel que C est
+		le plus petit nombre ayant comme multiples A et B. \\\\
 		Par exemple, trouvons le PPCM de 12 et 8. \newline
-		Pour cela, on utilise la factorisation en nombres premiers en écriture réduite de chaque nombre. \newline 
+		Pour cela, on utilise la factorisation en nombres premiers en écriture réduite de chaque nombre, \hyperref[th:exemple]{cliquer ici pour voir}.  \newline 
 		Alors: $12= 2 \times 2 \times 3 = 2^{2} \times 3$ \newline
 		Et:    $8= 2 \times 2 \times 2= 2^{3}$ \newline
 		Nous prenons alors chaque facteur premier avec leur puissance la plus grande entre les deux. \newline
 		Ainsi, nous obtenons: $2^{3} \times 3^{1} = 24$ \newline
-		Donc PGCD(12,8)= 24.
+		Donc PPCM(12,8)= 24.\newline
+		Effectivement, $24=12 \times 2 = 8 \times 3$.
 
 
 
 \section{Algorithme de la décomposition d'un nombre en facteurs premiers}
+	Pour l'algorithme présenté dans la partie \ref{subsec/fact} nous aurons besoin de connaître le principe du 
+	crible d'Eratosthène \ref{subsec/crible}
+	\subsection{Crible d'Eratosthène}{\label{subsec/crible}}
+		Le crible d'Eratosthène est défini sur un intervalle allant de $2$ à un autre nombre que l'on prendra ici égale à $100$
+		
+		Description de l'algorithme du crible d'Eratosthène :\newline
+		On part de $2$ et on "enlève" tous les multiples de $2$ soient $4,6,8,\cdots,98,100$.
+		Ensuite on passe au nombre suivant non supprimé soit $3$ ici et on enlève les multiples de 3
+		On continue ainsi de suite jusqu'à ce qu'il ne reste aucun nombre non premier.
+	\subsection{Algorithme naïf de décomposition d'un nombre en facteurs premiers}{\label{subsec/fact}}
+		Pour cet algorithme, on partira du principe que l'on a une liste (de longueur $s$) de nombre premiers obtenue à partir du crible d'Eratosthène.\newline
+		\begin{enumerate}
+		\item Posons $n \geq 2$ l'algorithme commence par un test de primalité sur n (ici on le fait grâce au crible, si n est dans la liste alors 
+		$n$	est premier)
+		\item si $n$ est premier, alors on renvoie n.
+		\item sinon, on divise $n$ par le premier entier (noté $p_1$) de la liste du crible d'Eratosthène
+			\begin{enumerate}
+				\item si le reste de cette division est nul dans ce cas, on recommence l'algorithme avec la valeur de $\frac{n}{p_1}$ et on garde 
+				en mémoire le $p_1$ (si on fait un algorithme récursif cela se fait tout seul)
+				\item si le reste n'est pas nul, on divise $n$ par $p_2$ (soit le nombre premier suivant dans la liste du crible) et ce jusqu'à ce 
+				que 	$p_i \divides n$, avec $1 \leq i \leq s$. Une fois $p_i$ trouvé on le garde en mémoire et on recommence l'agorithme avec la 
+				valeur de $\frac{n}{p_i}$
+			\end{enumerate}
+		\item Ainsi en mutlipliant tous les $p_i$ gardés en mémoire entre-eux on a la décomposition de $n$ en facteurs premiers.
+		\end{enumerate}
+		En exemple, si on prend la liste suivante $l = [2,3,5,7,11,13,17,...]$ et le nombre $1638$ comme dans l'exemple \ref{subsec/fact_ex}, on a 
+		: \newline $1638 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 13 = p_1 \cdot p_2 \cdot p_2 \cdot p_4 \cdot p_6$ car $p_i$ est le ième élément de la
+		liste $l$.
+