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Rapport.tex

@@ -3,6 +3,10 @@
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 \newtheorem{theorem}{Théorème}
 \newtheorem{proof}{Démonstration}
 \title{Le théorème fondamental de l'arithmétique}
@@ -82,15 +86,43 @@ Il a été énoncé par Euclide dans son livre \textit{Les Éléments} numéro V
 		\end{proof}
 	\subsection{Unicité de la factorisation}
 
-Insérer ici l'écriture réduite de cette factorisation en nombres premiers
+	\subsection{Exemple de factorisation réduite}
+		Posons d'abord un nombre entier non premier $a = 1638$\\
+		Effectuons la factorisation réduite de a en produit de facteurs premiers :\newline
+		On procédera pour cette exemple a des divisions successives de a par des nombres premiers de plus en plus grands :\newline
+		Remarquons d'abord que $2 \divides a$ d'où $1638 = 819 \cdot 2$\newline
+		De plus, $2 \ndivides 819$ mais on voit que $8 + 1 + 9 = 18$ qui est divisible par $3$ d'où $819 = 273 \cdot 3$\newline
+		Ensuite, $2 + 7 + 3 = 3 \cdot 4$ donc $273 = 91 \cdot 3$
+		Toutefois, on remarque maintenant que $91$ n'est plus divisible par $3$ donc essayons avec le nombre premier suivant : $5$\newline
+		$5 \ndivides 91$ donc testons avec $7$ : $7 \divides 91$ car $91 = 13 \cdot 7$ \newline
+		Il ne reste plus qu'à faire le cas pour $13$, or ce-dernier étant premier, il n'est pas possible de le diviser par autre chose
+		que $1$ ou lui-même d'où : \newline
+		$1638 = 2 \cdot 819 = 2 \cdot 3 \cdot 273 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 91 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 13$ or la factorisation doit être 
+		réduite donc comme énoncé dans le théorème \ref{th:exemple} \newline
+		$1638 = 2 \cdot 3^2 \cdot 7 \cdot 13$
 		
 
 
 \section{Définition du PGCD et du PPCM}
-
-C'est mon stuff ça
-
-
+	\subsection{Définition du PGCD de deux nombres entiers}
+Le \strong{PGCD}, acronyme de \textbf{P}lus \textbf{G}rand \textbf{C}ommun \textbf{D}iviseur, de deux nombres a et b, est le nombre positif le plus grand de l'ensemble des diviseurs communs de a et b. \\ \\
+Par exemple, trouvons le PGCD de 12 et 8. \newline
+Les diviseurs de 12 sont: [1,2,3,4,6,12] \newline
+Et les diviseurs de 8 sont: [1,2,4,8] \newline
+Alors, leurs diviseurs communs sont: [1,2,4].\newline
+Et le plus grand de l'ensemble est 4.\newline
+Donc PGCD(12,8)= 4.
+
+
+	\subsection{Définition du PPCM de deux nombres entiers}
+Le \strong{PPCM}, acronyme de \textbf{P}lus \textbf{P}etit \textbf{C}ommun \textbf{M}ultiple, de deux nombres a et b, est le nombre positif le plus petit ayant comme multiples a,b et d'autres nombre(s). \\ \\
+Par exemple, trouvons le PPCM de 12 et 8. \newline
+Pour cela, on utilise la factorisation en nombres premiers en écriture réduite de chaque nombre. \newline 
+Alors: $12= 2 \times 2 \times 3 = 2^{2} \times 3$ \newline
+Et:    $8= 2 \times 2 \times 2= 2^{3}$ \newline
+Nous prenons alors chaque facteur premier avec leur puissance la plus grande entre les deux. \newline
+Ainsi, nous obtenons: $2^{3} \times 3^{1} = 24$ \newline
+Donc PGCD(12,8)= 24.