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Rapport.tex

@@ -62,7 +62,8 @@ Il a été énoncé par Euclide dans son livre \textit{Les Éléments} numéro V
 	\end{itemize}
 	\subsection{Existence de la factorisation}
 		Pour prouver l'existence de cette factorisation, il faut que l'on réussisse à prouver que tout entier $n \geq 2$ admet un diviseur premier. \\
-		On démontre cela par un raisonnement par récurrence \strong{forte}, c'est-à-dire une récurrence dont la véracité d'une proposition à un rang $n$ dépend de la véracité de toutes les propositions précédentes. \\
+		On démontre cela par un raisonnement par récurrence \strong{forte}, c'est-à-dire une récurrence dont la véracité d'une proposition à un 
+		rang $n$ dépend de la véracité de toutes les propositions précédentes. \\
 		\begin{proof}
 			Procédons par récurrence forte sur n. Pour $n \geq 2$, on pose P(n) = n, c'est notre proposition, qui s'écrit : \\
 			\begin{center}
@@ -71,7 +72,8 @@ Il a été énoncé par Euclide dans son livre \textit{Les Éléments} numéro V
 			avec $p_1, p_2, \cdots, p_m$ premiers avec $p_1 < p_2 < \cdots < p_m$ et $k_1, k_2, \cdots, k_m \in \mathbb{N^{*}}$. \\
 			\begin{enumerate}
 				\item \strong{Initialisation} : $P(2)$ est vraie car $2 = 2^{1}$. De plus, 2 est premier donc la récurrence est vraie pour $P(2)$.
-				\item \strong{Hérédité} : On pose $n \geq 2$ et $k$ tel que $P(k)$ est vraie pour tout $2 \leq k \leq n$. On doit donc poruver que $P(n + 1)$ est vraie. En effet, si n + 1 est premier, c'est fini. \\
+				\item \strong{Hérédité} : On pose $n \geq 2$ et $k$ tel que $P(k)$ est vraie pour tout $2 \leq k \leq n$. On doit donc poruver que 
+				$P(n + 1)$ est vraie. En effet, si n + 1 est premier, c'est fini. \\
 				 Sinon, $n + 1$ admet un diviseur premier noté $p$ tel que $2 \leq p < n + 1$ (car $n + 1$ n'est pas premier). \\
 				 Posons $k = (n + 1) / p$. Alors on a $2 \leq k \leq n$ et on sait que $P(k)$ est vraie. Donc, on a bien :
 				 \begin{center}
@@ -81,7 +83,8 @@ Il a été énoncé par Euclide dans son livre \textit{Les Éléments} numéro V
 				\begin{center}
 					$n + 1 = pk = p \times p_1^{\alpha_{1}} \times \cdots \times p_r^{\alpha_{r}}$.
 				\end{center}
-				\item \strong{Conclusion} : On a donc prouvé que $P(n + 1)$ est vraie. Par conséquent, la décomposition en produit de facteurs premiers existe pour tout $n \geq 2$.
+				\item \strong{Conclusion} : On a donc prouvé que $P(n + 1)$ est vraie. Par conséquent, la décomposition en produit de facteurs 
+				premiers existe pour tout $n \geq 2$.
 			\end{enumerate}
 		\end{proof}
 	\subsection{Unicité de la factorisation}
@@ -105,24 +108,26 @@ Il a été énoncé par Euclide dans son livre \textit{Les Éléments} numéro V
 
 \section{Définition du PGCD et du PPCM}
 	\subsection{Définition du PGCD de deux nombres entiers}
-Le \strong{PGCD}, acronyme de \textbf{P}lus \textbf{G}rand \textbf{C}ommun \textbf{D}iviseur, de deux nombres a et b, est le nombre positif le plus grand de l'ensemble des diviseurs communs de a et b. \\ \\
-Par exemple, trouvons le PGCD de 12 et 8. \newline
-Les diviseurs de 12 sont: [1,2,3,4,6,12] \newline
-Et les diviseurs de 8 sont: [1,2,4,8] \newline
-Alors, leurs diviseurs communs sont: [1,2,4].\newline
-Et le plus grand de l'ensemble est 4.\newline
-Donc PGCD(12,8)= 4.
+		Le \strong{PGCD}, acronyme de \textbf{P}lus \textbf{G}rand \textbf{C}ommun \textbf{D}iviseur, de deux nombres a et b, est le nombre positif 
+		le plus grand de l'ensemble des diviseurs communs de a et b. \\ \\
+		Par exemple, trouvons le PGCD de 12 et 8. \newline
+		Les diviseurs de 12 sont: [1,2,3,4,6,12] \newline
+		Et les diviseurs de 8 sont: [1,2,4,8] \newline
+		Alors, leurs diviseurs communs sont: [1,2,4].\newline
+		Et le plus grand de l'ensemble est 4.\newline
+		Donc PGCD(12,8)= 4.
 
 
 	\subsection{Définition du PPCM de deux nombres entiers}
-Le \strong{PPCM}, acronyme de \textbf{P}lus \textbf{P}etit \textbf{C}ommun \textbf{M}ultiple, de deux nombres a et b, est le nombre positif le plus petit ayant comme multiples a,b et d'autres nombre(s). \\ \\
-Par exemple, trouvons le PPCM de 12 et 8. \newline
-Pour cela, on utilise la factorisation en nombres premiers en écriture réduite de chaque nombre. \newline 
-Alors: $12= 2 \times 2 \times 3 = 2^{2} \times 3$ \newline
-Et:    $8= 2 \times 2 \times 2= 2^{3}$ \newline
-Nous prenons alors chaque facteur premier avec leur puissance la plus grande entre les deux. \newline
-Ainsi, nous obtenons: $2^{3} \times 3^{1} = 24$ \newline
-Donc PGCD(12,8)= 24.
+		Le \strong{PPCM}, acronyme de \textbf{P}lus \textbf{P}etit \textbf{C}ommun \textbf{M}ultiple, de deux nombres a et b, est le nombre positif 
+		le plus petit ayant comme multiples a,b et d'autres nombre(s). \\\\
+		Par exemple, trouvons le PPCM de 12 et 8. \newline
+		Pour cela, on utilise la factorisation en nombres premiers en écriture réduite de chaque nombre. \newline 
+		Alors: $12= 2 \times 2 \times 3 = 2^{2} \times 3$ \newline
+		Et:    $8= 2 \times 2 \times 2= 2^{3}$ \newline
+		Nous prenons alors chaque facteur premier avec leur puissance la plus grande entre les deux. \newline
+		Ainsi, nous obtenons: $2^{3} \times 3^{1} = 24$ \newline
+		Donc PGCD(12,8)= 24.