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Rapport.tex

@@ -62,7 +62,8 @@ Il a été énoncé par Euclide dans son livre \textit{Les Éléments} numéro V
 	\end{itemize}
 	\subsection{Existence de la factorisation}
 		Pour prouver l'existence de cette factorisation, il faut que l'on réussisse à prouver que tout entier $n \geq 2$ admet un diviseur premier. \\
-		On démontre cela par un raisonnement par récurrence \strong{forte}, c'est-à-dire une récurrence dont la véracité d'une proposition à un rang $n$ dépend de la véracité de toutes les propositions précédentes. \\
+		On démontre cela par un raisonnement par récurrence \strong{forte}, c'est-à-dire une récurrence dont la véracité d'une proposition à un 
+		rang $n$ dépend de la véracité de toutes les propositions précédentes. \\
 		\begin{proof}
 			Procédons par récurrence forte sur n. Pour $n \geq 2$, on pose P(n) = n, c'est notre proposition, qui s'écrit : \\
 			\begin{center}
@@ -71,7 +72,8 @@ Il a été énoncé par Euclide dans son livre \textit{Les Éléments} numéro V
 			avec $p_1, p_2, \cdots, p_m$ premiers avec $p_1 < p_2 < \cdots < p_m$ et $k_1, k_2, \cdots, k_m \in \mathbb{N^{*}}$. \\
 			\begin{enumerate}
 				\item \strong{Initialisation} : $P(2)$ est vraie car $2 = 2^{1}$. De plus, 2 est premier donc la récurrence est vraie pour $P(2)$.
-				\item \strong{Hérédité} : On pose $n \geq 2$ et $k$ tel que $P(k)$ est vraie pour tout $2 \leq k \leq n$. On doit donc poruver que $P(n + 1)$ est vraie. En effet, si n + 1 est premier, c'est fini. \\
+				\item \strong{Hérédité} : On pose $n \geq 2$ et $k$ tel que $P(k)$ est vraie pour tout $2 \leq k \leq n$. On doit donc poruver que 
+				$P(n + 1)$ est vraie. En effet, si n + 1 est premier, c'est fini. \\
 				 Sinon, $n + 1$ admet un diviseur premier noté $p$ tel que $2 \leq p < n + 1$ (car $n + 1$ n'est pas premier). \\
 				 Posons $k = (n + 1) / p$. Alors on a $2 \leq k \leq n$ et on sait que $P(k)$ est vraie. Donc, on a bien :
 				 \begin{center}
@@ -81,7 +83,8 @@ Il a été énoncé par Euclide dans son livre \textit{Les Éléments} numéro V
 				\begin{center}
 					$n + 1 = pk = p \times p_1^{\alpha_{1}} \times \cdots \times p_r^{\alpha_{r}}$.
 				\end{center}
-				\item \strong{Conclusion} : On a donc prouvé que $P(n + 1)$ est vraie. Par conséquent, la décomposition en produit de facteurs premiers existe pour tout $n \geq 2$.
+				\item \strong{Conclusion} : On a donc prouvé que $P(n + 1)$ est vraie. Par conséquent, la décomposition en produit de facteurs 
+				premiers existe pour tout $n \geq 2$.
 			\end{enumerate}
 		\end{proof}
 	\subsection{Unicité de la factorisation}
@@ -105,7 +108,8 @@ Il a été énoncé par Euclide dans son livre \textit{Les Éléments} numéro V
 
 \section{Définition du PGCD et du PPCM}
 	\subsection{Définition du PGCD de deux nombres entiers}
-Le \strong{PGCD}, acronyme de \textbf{P}lus \textbf{G}rand \textbf{C}ommun \textbf{D}iviseur, de deux nombres a et b, est le nombre positif le plus grand de l'ensemble des diviseurs communs de a et b. \\ \\
+		Le \strong{PGCD}, acronyme de \textbf{P}lus \textbf{G}rand \textbf{C}ommun \textbf{D}iviseur, de deux nombres a et b, est le nombre positif 
+		le plus grand de l'ensemble des diviseurs communs de a et b. \\ \\
 		Par exemple, trouvons le PGCD de 12 et 8. \newline
 		Les diviseurs de 12 sont: [1,2,3,4,6,12] \newline
 		Et les diviseurs de 8 sont: [1,2,4,8] \newline
@@ -115,7 +119,8 @@ Donc PGCD(12,8)= 4.
 
 
 	\subsection{Définition du PPCM de deux nombres entiers}
-Le \strong{PPCM}, acronyme de \textbf{P}lus \textbf{P}etit \textbf{C}ommun \textbf{M}ultiple, de deux nombres a et b, est le nombre positif le plus petit ayant comme multiples a,b et d'autres nombre(s). \\ \\
+		Le \strong{PPCM}, acronyme de \textbf{P}lus \textbf{P}etit \textbf{C}ommun \textbf{M}ultiple, de deux nombres a et b, est le nombre positif 
+		le plus petit ayant comme multiples a,b et d'autres nombre(s). \\\\
 		Par exemple, trouvons le PPCM de 12 et 8. \newline
 		Pour cela, on utilise la factorisation en nombres premiers en écriture réduite de chaque nombre. \newline 
 		Alors: $12= 2 \times 2 \times 3 = 2^{2} \times 3$ \newline