@@ -62,7 +62,8 @@ Il a été énoncé par Euclide dans son livre \textit{Les Éléments} numéro V
...
@@ -62,7 +62,8 @@ Il a été énoncé par Euclide dans son livre \textit{Les Éléments} numéro V
\end{itemize}
\end{itemize}
\subsection{Existence de la factorisation}
\subsection{Existence de la factorisation}
Pour prouver l'existence de cette factorisation, il faut que l'on réussisse à prouver que tout entier $n \geq2$ admet un diviseur premier. \\
Pour prouver l'existence de cette factorisation, il faut que l'on réussisse à prouver que tout entier $n \geq2$ admet un diviseur premier. \\
On démontre cela par un raisonnement par récurrence \strong{forte}, c'est-à-dire une récurrence dont la véracité d'une proposition à un rang $n$ dépend de la véracité de toutes les propositions précédentes. \\
On démontre cela par un raisonnement par récurrence \strong{forte}, c'est-à-dire une récurrence dont la véracité d'une proposition à un
rang $n$ dépend de la véracité de toutes les propositions précédentes. \\
\begin{proof}
\begin{proof}
Procédons par récurrence forte sur n. Pour $n \geq2$, on pose P(n) = n, c'est notre proposition, qui s'écrit : \\
Procédons par récurrence forte sur n. Pour $n \geq2$, on pose P(n) = n, c'est notre proposition, qui s'écrit : \\
\begin{center}
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@@ -71,7 +72,8 @@ Il a été énoncé par Euclide dans son livre \textit{Les Éléments} numéro V
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@@ -71,7 +72,8 @@ Il a été énoncé par Euclide dans son livre \textit{Les Éléments} numéro V
avec $p_1, p_2, \cdots, p_m$ premiers avec $p_1 < p_2 < \cdots < p_m$ et $k_1, k_2, \cdots, k_m \in\mathbb{N^{*}}$. \\
avec $p_1, p_2, \cdots, p_m$ premiers avec $p_1 < p_2 < \cdots < p_m$ et $k_1, k_2, \cdots, k_m \in\mathbb{N^{*}}$. \\
\begin{enumerate}
\begin{enumerate}
\item\strong{Initialisation} : $P(2)$ est vraie car $2=2^{1}$. De plus, 2 est premier donc la récurrence est vraie pour $P(2)$.
\item\strong{Initialisation} : $P(2)$ est vraie car $2=2^{1}$. De plus, 2 est premier donc la récurrence est vraie pour $P(2)$.
\item\strong{Hérédité} : On pose $n \geq2$ et $k$ tel que $P(k)$ est vraie pour tout $2\leq k \leq n$. On doit donc poruver que $P(n +1)$ est vraie. En effet, si n + 1 est premier, c'est fini. \\
\item\strong{Hérédité} : On pose $n \geq2$ et $k$ tel que $P(k)$ est vraie pour tout $2\leq k \leq n$. On doit donc poruver que
$P(n +1)$ est vraie. En effet, si n + 1 est premier, c'est fini. \\
Sinon, $n +1$ admet un diviseur premier noté $p$ tel que $2\leq p < n +1$ (car $n +1$ n'est pas premier). \\
Sinon, $n +1$ admet un diviseur premier noté $p$ tel que $2\leq p < n +1$ (car $n +1$ n'est pas premier). \\
Posons $k =(n +1)/ p$. Alors on a $2\leq k \leq n$ et on sait que $P(k)$ est vraie. Donc, on a bien :
Posons $k =(n +1)/ p$. Alors on a $2\leq k \leq n$ et on sait que $P(k)$ est vraie. Donc, on a bien :
\begin{center}
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@@ -81,7 +83,8 @@ Il a été énoncé par Euclide dans son livre \textit{Les Éléments} numéro V
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@@ -81,7 +83,8 @@ Il a été énoncé par Euclide dans son livre \textit{Les Éléments} numéro V
\begin{center}
\begin{center}
$n +1= pk = p \times p_1^{\alpha_{1}}\times\cdots\times p_r^{\alpha_{r}}$.
$n +1= pk = p \times p_1^{\alpha_{1}}\times\cdots\times p_r^{\alpha_{r}}$.
\end{center}
\end{center}
\item\strong{Conclusion} : On a donc prouvé que $P(n +1)$ est vraie. Par conséquent, la décomposition en produit de facteurs premiers existe pour tout $n \geq2$.
\item\strong{Conclusion} : On a donc prouvé que $P(n +1)$ est vraie. Par conséquent, la décomposition en produit de facteurs
premiers existe pour tout $n \geq2$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{proof}
\subsection{Unicité de la factorisation}
\subsection{Unicité de la factorisation}
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@@ -105,24 +108,26 @@ Il a été énoncé par Euclide dans son livre \textit{Les Éléments} numéro V
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@@ -105,24 +108,26 @@ Il a été énoncé par Euclide dans son livre \textit{Les Éléments} numéro V
\section{Définition du PGCD et du PPCM}
\section{Définition du PGCD et du PPCM}
\subsection{Définition du PGCD de deux nombres entiers}
\subsection{Définition du PGCD de deux nombres entiers}
Le \strong{PGCD}, acronyme de \textbf{P}lus \textbf{G}rand \textbf{C}ommun \textbf{D}iviseur, de deux nombres a et b, est le nombre positif le plus grand de l'ensemble des diviseurs communs de a et b. \\\\
Le \strong{PGCD}, acronyme de \textbf{P}lus \textbf{G}rand \textbf{C}ommun \textbf{D}iviseur, de deux nombres a et b, est le nombre positif
Par exemple, trouvons le PGCD de 12 et 8. \newline
le plus grand de l'ensemble des diviseurs communs de a et b. \\\\
Les diviseurs de 12 sont: [1,2,3,4,6,12] \newline
Par exemple, trouvons le PGCD de 12 et 8. \newline
Et les diviseurs de 8 sont: [1,2,4,8] \newline
Les diviseurs de 12 sont: [1,2,3,4,6,12] \newline
Alors, leurs diviseurs communs sont: [1,2,4].\newline
Et les diviseurs de 8 sont: [1,2,4,8] \newline
Et le plus grand de l'ensemble est 4.\newline
Alors, leurs diviseurs communs sont: [1,2,4].\newline
Donc PGCD(12,8)= 4.
Et le plus grand de l'ensemble est 4.\newline
Donc PGCD(12,8)= 4.
\subsection{Définition du PPCM de deux nombres entiers}
\subsection{Définition du PPCM de deux nombres entiers}
Le \strong{PPCM}, acronyme de \textbf{P}lus \textbf{P}etit \textbf{C}ommun \textbf{M}ultiple, de deux nombres a et b, est le nombre positif le plus petit ayant comme multiples a,b et d'autres nombre(s). \\\\
Le \strong{PPCM}, acronyme de \textbf{P}lus \textbf{P}etit \textbf{C}ommun \textbf{M}ultiple, de deux nombres a et b, est le nombre positif
Par exemple, trouvons le PPCM de 12 et 8. \newline
le plus petit ayant comme multiples a,b et d'autres nombre(s). \\\\
Pour cela, on utilise la factorisation en nombres premiers en écriture réduite de chaque nombre. \newline
Par exemple, trouvons le PPCM de 12 et 8. \newline
Alors: $12=2\times2\times3=2^{2}\times3$\newline
Pour cela, on utilise la factorisation en nombres premiers en écriture réduite de chaque nombre. \newline
Et: $8=2\times2\times2=2^{3}$\newline
Alors: $12=2\times2\times3=2^{2}\times3$\newline
Nous prenons alors chaque facteur premier avec leur puissance la plus grande entre les deux. \newline
Et: $8=2\times2\times2=2^{3}$\newline
Ainsi, nous obtenons: $2^{3}\times3^{1}=24$\newline
Nous prenons alors chaque facteur premier avec leur puissance la plus grande entre les deux. \newline
Donc PGCD(12,8)= 24.
Ainsi, nous obtenons: $2^{3}\times3^{1}=24$\newline