Le crible d'Eratosthène est défini sur un intervalle allant de $2$ à un autre nombre que l'on prendra ici égale à $100$
Description de l'algorithme du crible d'Eratosthène :\newline
On part de $2$ et on "enlève" tous les multiples de $2$ soient $4,6,8,\cdots,98,100$.
Ensuite on passe au nombre suivant non supprimé soit $3$ ici et on enlève les multiples de 3
On continue ainsi de suite jusqu'à ce qu'il ne reste aucun nombre non premier.
\subsection{Algorithme naïf de décomposition d'un nombre en facteurs premiers}{\label{subsec/fact}}
Pour cet algorithme, on partira du principe que l'on a une liste (de longueur $s$) de nombre premiers obtenue à partir du crible d'Eratosthène.\newline
\begin{enumerate}
\item Posons $n \geq2$ l'algorithme commence par un test de primalité sur n (ici on le fait grâce au crible, si n est dans la liste alors
$n$ est premier)
\item si $n$ est premier, alors on renvoie n.
\item sinon, on divise $n$ par le premier entier (noté $p_1$) de la liste du crible d'Eratosthène
\begin{enumerate}
\item si le reste de cette division est nul dans ce cas, on recommence l'algorithme avec la valeur de $\frac{n}{p_1}$ et on garde
en mémoire le $p_1$ (si on fait un algorithme récursif cela se fait tout seul)
\item si le reste n'est pas nul, on divise $n$ par $p_2$ (soit le nombre premier suivant dans la liste du crible) et ce jusqu'à ce
que $p_i \divides n$, avec $1\leq i \leq s$. Une fois $p_i$ trouvé on le garde en mémoire et on recommence l'agorithme avec la
valeur de $\frac{n}{p_i}$
\end{enumerate}
\item Ainsi en mutlipliant tous les $p_i$ gardés en mémoire entre-eux on a la décomposition de $n$ en facteurs premiers.
\end{enumerate}
En exemple, si on prend la liste suivante $l =[2,3,5,7,11,13,17,...]$ et le nombre $1638$ comme dans l'exemple \ref{subsec/fact_ex}, on a
: \newline$1638=2\cdot3\cdot3\cdot7\cdot13= p_1\cdot p_2\cdot p_2\cdot p_4\cdot p_6$ car $p_i$ est le ième élément de la
liste $l$.
\section{Algorithmes calculant le PGCD et le PPCM de 2 nombres premiers}
