Ajout d'un algorithme de décomposition en facteurs premiers

Rapport.tex

@@ -7,6 +7,7 @@
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 \newtheorem{theorem}{Théorème}
 \newtheorem{proof}{Démonstration}
 \title{Le théorème fondamental de l'arithmétique}
@@ -89,7 +90,7 @@ Il a été énoncé par Euclide dans son livre \textit{Les Éléments} numéro V
 		\end{proof}
 	\subsection{Unicité de la factorisation}
 
-	\subsection{Exemple de factorisation réduite}
+	\subsection{Exemple de factorisation réduite}{\label{subsec/fact_ex}}
 		Posons d'abord un nombre entier non premier $a = 1638$\\
 		Effectuons la factorisation réduite de a en produit de facteurs premiers :\newline
 		On procédera pour cette exemple a des divisions successives de a par des nombres premiers de plus en plus grands :\newline
@@ -132,8 +133,37 @@ Il a été énoncé par Euclide dans son livre \textit{Les Éléments} numéro V
 
 
 \section{Algorithme de la décomposition d'un nombre en facteurs premiers}
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+	Pour l'algorithme présenté dans la partie \ref{subsec/fact} nous aurons besoin de connaître le principe du 
+	crible d'Eratosthène \ref{subsec/crible}
+	\subsection{Crible d'Eratosthène}{\label{subsec/crible}}
+		Le crible d'Eratosthène est défini sur un intervalle allant de $2$ à un autre nombre que l'on prendra ici égale à $100$
+		
+		Description de l'algorithme du crible d'Eratosthène :\newline
+		On part de $2$ et on "enlève" tous les multiples de $2$ soient $4,6,8,\cdots,98,100$.
+		Ensuite on passe au nombre suivant non supprimé soit $3$ ici et on enlève les multiples de 3
+		On continue ainsi de suite jusqu'à ce qu'il ne reste aucun nombre non premier.
+	\subsection{Algorithme naïf de décomposition d'un nombre en facteurs premiers}{\label{subsec/fact}}
+		Pour cet algorithme, on partira du principe que l'on a une liste (de longueur $s$) de nombre premiers obtenue à partir du crible d'Eratosthène.\newline
+		\begin{enumerate}
+		\item Posons $n \geq 2$ l'algorithme commence par un test de primalité sur n (ici on le fait grâce au crible, si n est dans la liste alors 
+		$n$	est premier)
+		\item si $n$ est premier, alors on renvoie n.
+		\item sinon, on divise $n$ par le premier entier (noté $p_1$) de la liste du crible d'Eratosthène
+			\begin{enumerate}
+				\item si le reste de cette division est nul dans ce cas, on recommence l'algorithme avec la valeur de $\frac{n}{p_1}$ et on garde 
+				en mémoire le $p_1$ (si on fait un algorithme récursif cela se fait tout seul)
+				\item si le reste n'est pas nul, on divise $n$ par $p_2$ (soit le nombre premier suivant dans la liste du crible) et ce jusqu'à ce 
+				que 	$p_i \divides n$, avec $1 \leq i \leq s$. Une fois $p_i$ trouvé on le garde en mémoire et on recommence l'agorithme avec la 
+				valeur de $\frac{n}{p_i}$
+			\end{enumerate}
+		\item Ainsi en mutlipliant tous les $p_i$ gardés en mémoire entre-eux on a la décomposition de $n$ en facteurs premiers.
+		\end{enumerate}
+		En exemple, si on prend la liste suivante $l = [2,3,5,7,11,13,17,...]$ et le nombre $1638$ comme dans l'exemple \ref{subsec/fact_ex}, on a 
+		: \newline $1638 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 13 = p_1 \cdot p_2 \cdot p_2 \cdot p_4 \cdot p_6$ car $p_i$ est le ième élément de la
+		liste $l$.
+		
+		
+		
 
 \section{Algorithmes calculant le PGCD et le PPCM de 2 nombres premiers}